K-means(Thek-meansalgorithm)是机器学习十大经典算法之一,同时也是最为经典的无监督聚类(Unsupervised Clustering)算法。接触聚类算法,首先需要了解k-means算法的实现原理和步骤。本文将对k-means算法的基本原理和实现实例进行分析。

一.聚类算法的简介

        对于”监督学习“(supervised learning),其训练样本是带有标记信息的,并且监督学习的目的是:对带有标记的数据集进行模型学习,从而便于对新的样本进行分类。而在“无监督学习”(unsupervised learning)中,训练样本的标记信息是未知的,目标是通过对无标记训练样本的学习来揭示数据的内在性质及规律,为进一步的数据分析提供基础。对于无监督学习,应用最广的便是”聚类“(clustering)。
        ”聚类算法“试图将数据集中的样本划分为若干个通常是不相交的子集,每个子集称为一个“簇”(cluster),通过这样的划分,每个簇可能对应于一些潜在的概念或类别。
        我们可以通过下面这个图来理解:
                                                                                  
        上图是未做标记的样本集,通过他们的分布,我们很容易对上图中的样本做出以下几种划分。
                当需要将其划分为两个簇时,即 k=2时:

        当需要将其划分为四个簇时,即 k=4 时:
                                                                                

二.K-means聚类算法

        kmeans算法又名k均值算法,K-means算法中的k表示的是聚类为k个簇,means代表取每一个聚类中数据值的均值作为该簇的中心,或者称为质心,即用每一个的类的质心对该簇进行描述。
        其算法思想大致为:先从样本集中随机选取 k个样本作为簇中心,并计算所有样本与这 k个“簇中心”的距离,对于每一个样本,将其划分到与其距离最近的“簇中心”所在的簇中,对于新的簇计算各个簇的新的“簇中心”。
        根据以上描述,我们大致可以猜测到实现kmeans算法的主要四点:
          (1)簇个数 k 的选择
          (2)各个样本点到“簇中心”的距离
          (3)根据新划分的簇,更新“簇中心”
          (4)重复上述2、3过程,直至”簇中心”没有移动
        优缺点:

  • 优点:容易实现
  • 缺点:可能收敛到局部最小值,在大规模数据上收敛较慢

三.K-means算法步骤详解

Step1.K值的选择

k 的选择一般是按照实际需求进行决定,或在实现算法时直接给定 k 值。

说明:
A.质心数量由用户给出,记为k,k-means最终得到的簇数量也是k
B.后来每次更新的质心的个数都和初始k值相等
C.k-means最后聚类的簇个数和用户指定的质心个数相等,一个质心对应一个簇,每个样本只聚类到一个簇里面
D.初始簇为空

Step2.距离度量

        将对象点分到距离聚类中心最近的那个簇中需要最近邻的度量策略,在欧式空间中采用的是欧式距离,在处理文档中采用的是余弦相似度函数,有时候也采用曼哈顿距离作为度量,不同的情况实用的度量公式是不同的。

2.1.欧式距离

2.2.曼哈顿距离

2.3.余弦相似度

        A与B表示向量(x1,y1),(x2,y2)
        分子为A与B的点乘,分母为二者各自的L2相乘,即将所有维度值的平方相加后开方。

说明:
A.经过step2,得到k个新的簇,每个样本都被分到k个簇中的某一个簇
B.得到k个新的簇后,当前的质心就会失效,需要计算每个新簇的自己的新质心

Step3.新质心的计算

        对于分类后的产生的k个簇,分别计算到簇内其他点距离均值最小的点作为质心(对于拥有坐标的簇可以计算每个簇坐标的均值作为质心)

说明:
A.比如一个新簇有3个样本:[[1,4], [2,5], [3,6]],得到此簇的新质心=[(1+2+3)/3, (4+5+6)/3]
B.经过step3,会得到k个新的质心,作为step2中使用的质心

Step4.是否停止K-means

        质心不再改变,或给定loop最大次数loopLimit

说明:
A当每个簇的质心,不再改变时就可以停止k-menas
B.当loop次数超过looLimit时,停止k-means
C.只需要满足两者的其中一个条件,就可以停止k-means
C.如果Step4没有结束k-means,就再执行step2-step3-step4
D.如果Step4结束了k-means,则就打印(或绘制)簇以及质心

四.python实现+代码详解

        以下是python得实例代码以及代码的详解,应该可以理解的。

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import random
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算欧拉距离
def calcDis(dataSet, centroids, k):
clalist=[]
for data in dataSet:
diff = np.tile(data, (k, 1)) - centroids #相减 (np.tile(a,(2,1))就是把a先沿x轴复制1倍,即没有复制,仍然是 [0,1,2]。 再把结果沿y方向复制2倍得到array([[0,1,2],[0,1,2]]))
squaredDiff = diff ** 2 #平方
squaredDist = np.sum(squaredDiff, axis=1) #和 (axis=1表示行)
distance = squaredDist ** 0.5 #开根号
clalist.append(distance)
clalist = np.array(clalist) #返回一个每个点到质点的距离len(dateSet)*k的数组
return clalist

# 计算质心
def classify(dataSet, centroids, k):
# 计算样本到质心的距离
clalist = calcDis(dataSet, centroids, k)
# 分组并计算新的质心
minDistIndices = np.argmin(clalist, axis=1) #axis=1 表示求出每行的最小值的下标
newCentroids = pd.DataFrame(dataSet).groupby(minDistIndices).mean() #DataFramte(dataSet)对DataSet分组,groupby(min)按照min进行统计分类,mean()对分类结果求均值
newCentroids = newCentroids.values

# 计算变化量
changed = newCentroids - centroids

return changed, newCentroids

# 使用k-means分类
def kmeans(dataSet, k):
# 随机取质心
centroids = random.sample(dataSet, k)

# 更新质心 直到变化量全为0
changed, newCentroids = classify(dataSet, centroids, k)
while np.any(changed != 0):
changed, newCentroids = classify(dataSet, newCentroids, k)

centroids = sorted(newCentroids.tolist()) #tolist()将矩阵转换成列表 sorted()排序

# 根据质心计算每个集群
cluster = []
clalist = calcDis(dataSet, centroids, k) #调用欧拉距离
minDistIndices = np.argmin(clalist, axis=1)
for i in range(k):
cluster.append([])
for i, j in enumerate(minDistIndices): #enymerate()可同时遍历索引和遍历元素
cluster[j].append(dataSet[i])

return centroids, cluster

# 创建数据集
def createDataSet():
return [[1, 1], [1, 2], [2, 1], [6, 4], [6, 3], [5, 4]]

if __name__=='__main__':
dataset = createDataSet()
centroids, cluster = kmeans(dataset, 2)
print('质心为:%s' % centroids)
print('集群为:%s' % cluster)
for i in range(len(dataset)):
plt.scatter(dataset[i][0],dataset[i][1], marker = 'o',color = 'green', s = 40 ,label = '原始点')
# 记号形状 颜色 点的大小 设置标签
for j in range(len(centroids)):
plt.scatter(centroids[j][0],centroids[j][1],marker='x',color='red',s=50,label='质心')
plt.show

五.K-means算法补充

1.对初始化敏感,初始质点k给定的不同,可能会产生不同的聚类结果。如下图所示,右边是k=2的结果,这个就正好,而左图是k=3的结果,可以看到右上角得这两个簇应该是可以合并成一个簇的。

改进:
对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布,如重心和密度等,然后选择合适的k

2.使用存在局限性,如下面这种非球状的数据分布就搞不定了:

3.数据集比较大的时候,收敛会比较慢

4.最终会收敛。不管初始点如何选择,最终都会收敛。可是是全局收敛,也可能是局部收敛。

六.小结

        1. 聚类是一种无监督的学习方法。聚类区别于分类,即事先不知道要寻找的内容,没有预先设定好的目标变量。

        2. 聚类将数据点归到多个簇中,其中相似的数据点归为同一簇,而不相似的点归为不同的簇。相似度的计算方法有很多,具体的应用选择合适的相似度计算方法

        3. K-means聚类算法,是一种广泛使用的聚类算法,其中k是需要指定的参数,即需要创建的簇的数目,K-means算法中的k个簇的质心可以通过随机的方式获得,但是这些点需要位于数据范围内。在算法中,计算每个点到质心得距离,选择距离最小的质心对应的簇作为该数据点的划分,然后再基于该分配过程后更新簇的质心。重复上述过程,直至各个簇的质心不再变化为止。

        4. K-means算法虽然有效,但是容易受到初始簇质心的情况而影响,有可能陷入局部最优解。为了解决这个问题,可以使用另外一种称为二分K-means的聚类算法。二分K-means算法首先将所有数据点分为一个簇;然后使用K-means(k=2)对其进行划分;下一次迭代时,选择使得SSE下降程度最大的簇进行划分;重复该过程,直至簇的个数达到指定的数目为止。实验表明,二分K-means算法的聚类效果要好于普通的K-means聚类算法。