动态规划算法与分治法类似,其基本思想也就是将待求解的问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解,简单概括为自顶向下分解,自底向上求解。
        与分治法不同的是,适合于用动态规划法求解的问题,经分解得到的子问题往往不是相互独立的,换句话说,就是前面解决过的子问题,在后面的子问题中又碰到了前面解决过的子问题,子问题之间是有联系的。如果用分治法,有些同样的子问题会被重复计算几次,这样就很浪费时间了。所以动态规划是为了解决分治法的弊端而提出的,动态规划的基本思想就是,用一个表来记录所有已经解决过的子问题的答案,不管该子问题在以后是否会被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,以后碰到同样的子问题,就可以从表中直接调用该子问题的答案,而不需要再计算一次。具体的动态规划的算法多种多样,但他们都具有相同的填表式。
        动态规划的适用场合,一般适用于解最优化问题,例如矩阵连乘问题、最长公共子序列、背包问题等等。

矩阵连乘问题描述

        给定n个矩阵:A1,A2,…,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
        若A是一个p × q的矩阵,B是一个q × r的矩阵,则其乘积C=AB是一个p × r的矩阵。数乘次数是p × q × r.

疑问

A(3 × 5)A(5 × 7)A(7 × 2)的连乘次数和括号划分有关系吗?

(A(3 × 5)A(5 × 7))A(7 × 2) 相乘次数: (3 × 5 7)+(3 × 7 × 2) = 147
A(3 × 5)(A(5 × 7)A(7 × 2)) 相乘次数: (5 × 7
2)+(3 × 5 × 2) = 100

答案很明显是有关系的。

分析

求 A1A2A3…An 定义 AiAi+1…Ak…Aj-1Aj 子列, 可看成是Ai…Ak,Ak…Aj
确定k的位置,然后按照递归的思想来逐步解决 求得结果后,使i=1,j=n原问题即可求解。

建立递归关系(状态转移方程)

设 Ai…Aj相乘 的最小数乘次数存储于m[i][j]中。
S[i][j]存储最佳断开位置。
A1:P0 × P1
A2:P1 × P2
A3:P2 × P3

Ai:Pi-1 × Pi
Ai+1:Pi × Pi+1

An:Pn-1 × Pn
P0 × P1 × P2 … × Pn——n+1个

当i=j时,m[i][j] = 0;
当i<j时,m[i][j] = m[i][k]+m[k+1][j]+Pi-1PkPj
k在i,j之间取值,取值范围为i<=k<j
有递推关系如下:

动态规划的最优子结构性质是:

问题的最优解包含了其子问题的最优解。
最优子结构性质是问题可用动态规划法求解的显著特征。
Ai…Ak,Ak+1…Aj的最优划分也包含在Ai…Aj的最优划分中

在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。

python代码实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
import random
from pandas import *

input = int(input("输入矩阵数:"))
matrix = [[0] * 2 for i in range(input)]
for i in range(input): #生成矩阵
if i == 0:
matrix[i][0] = random.randrange(100)
matrix[i][1] = random.randrange(100)
else:
matrix[i][0] = matrix[i-1][1]
matrix[i][1] = random.randrange(100)
m = [[0] * input for i in range(input)] #记录连乘次数
s = [[0] * input for j in range(input)] #记录括号位置
def MatrixMultiplication(inp):
for i in range(inp):
m[i][i] = 0
for r in range(1, inp):
for i in range(inp-r):
j = i + r
m[i][j] = m[i+1][j] + matrix[i][0] * matrix[i][1] * matrix[j][1]
s[i][j] = i+1
for k in range(i+1, j):
judge = m[i][k] + m[k+1][j] + matrix[i][0] * matrix[k][1] * matrix[j][1]
if judge < m[i][j]:
m[i][j] = judge
s[i][j] = k+1
def printmatrix(left, right):
if left == right:
print("A"+str(left+1), end='')
else:
print("(", end='')
printmatrix(left, s[left][right]-1)
printmatrix(s[left][right], right)
print(")", end='')
MatrixMultiplication(input)
dm = DataFrame(m, index=list(range(1, input+1)), columns=list(range(1, input+1)))
ds = DataFrame(s, index=list(range(1, input+1)), columns=list(range(1, input+1)))
print(matrix)
print("数乘次数:\n", dm)
print("括号位置:\n", ds)
print("最终结果:")
printmatrix(0, input-1)